球盒问题

$n$个球$m$个盒子

同球异盒

无空：$C_{n-1}^{m-1}$

可空：$C_{n+m-1}^{m-1}$

同球同盒

定义$f(n,m)$，则$f(n,1)=f(n,n)=1,f(n,2)=[\frac{n}{2}],f(n,n+k)=0$

无空：$f(n,m)=\sum\limits_{k=1}^mf(n-m,k)$

可空：$f(n+m,m)$

异球同盒

第二类斯特林数：$S(n,m)=\frac{1}{m!}\times\sum\limits_{k=0}^m[(-1)^k\times C_m^k\times(m-k)^n]$

无空：$S(n,m)$

可空：$\sum\limits_{k=1}^mS(n,k)$

异球异盒

无空：$m!\times S(n,m)$

可空：$m^n$