数学期望
分布列：
| $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | … | $x_n$ | … |
|---|---|---|---|---|---|
| $P_i$ | $P_1$ | $P_2$ | … | $P_n$ | … |
$\rm I.$遍历所有可能取值
$\rm II.$ $P_i\in[0,1],\sum\limits_iP_i=1$
期望 $E(x)=\sum\limits_ix_iP_i$
性质：$E(ax+b)=aE(x)+b$
证明：
$\begin{aligned}E(ax+b)&=\sum\limits_i((ax_i+b)P_i)\\&=a\sum\limits_ix_iP_i+b\sum\limits_iP_i\\&=aE(x)+b\end{aligned}$
方差$D(x)=\sum\limits_i((x_i-E(x))^2P_i)$
性质：$D(ax+b)=a^2D(x)$
二项分布
$x\sim B(n,P),P_k=C_n^kP^k(1-P)^{n-k}$
性质：$E(x)=nP,D(x)=nP(1-P)$
证明：
$E(x)=\sum\limits_{i=0}^n(iC_n^iP^i(1-P)^{n-i})$
$\because kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}$
$\begin{aligned}\therefore E(x)&=nP\sum\limits_{i=0}^{n-1}(C_{n-1}^iP^i(1-P)^{n-1-i})\\&=nP(P+1-P)^{n-1}\\&=nP\end{aligned}$
超几何分布
从$n$个$A$及$m$个$B$中任取$k$个所有情况列出来
例：从$20$个红球$10$个黑球中任取$8$个球，取出红球个数的数学期望为$__\frac{16}{3}__$
解：$E(x)=n\times P=8\times \frac{20}{20+10}=\frac{16}{3}$